يعد الفرق بين المعادلة والمتراجحة من الأمور التي تدرس في التحقيقات الرياضية، حيث تتم كتابة المعادلة بمساواة تعبير جبري مع تعبير جبري آخر لينتج ما يسمى بالمعادلة الرياضية. وعندما نكتب المعادلة، يكون لدينا تعبير في الطرف الأيسر وتعبير آخر في الطرف الأيمن بحيث تكون هناك إشارة المساواة بينهما، لأن التعبيرين يجب أن يكونا متساويين لبعضهما البعض. للمتباينة أيضًا جانبان أيمن وأيسر، لكن المتباينة تختلف في بنيتها وفي الإشارة التي تفصل بين الجانبين الأيسر والأيمن. مما يحدث فرقًا كبيرًا في طريقة حلها.
الفرق بين المعادلة وعدم المساواة
وكما ذكرنا سابقاً، المعادلة نكتبها عندما نحتاج إلى مساواة تعبيرين جبريين مع بعضهما البعض، فينشأ طرفان بينهما علامة المساواة. إلا أن الطلاب قد يتعرضون لمواقف في حياتهم اليومية تتطلب اتخاذ قرار أو إجراء مقارنات بين مقادير وكميات مختلفة، وهذا يتطلب منهم فهم رموز المقارنات التي تفصل بين التعبيرين، وفهم العمليات الحسابية المتعلقة بهما، وفهم رموزها والمهارات المتعلقة بها. إذن العلاقة الرياضية التي تتضمن أحد الرموز (>، <، )، ويسمى عدم المساواة. وهو بدوره يحتل مكانة هامة في المفاهيم الأساسية للرياضيات، وذلك لارتباطه بمسائل ومفاهيم رياضية مختلفة، ويمكن أن يشكل مدخلا ذا أهمية خاصة للعديد من المواضيع الرياضية مثل المعادلات والدوال. يمكن تعريف عدم المساواة على النحو التالي: علاقة رياضية يمكن من خلالها ترتيب الأعداد أو الكميات. وحلها يعني إيجاد قيمة المتغير أو المتغير الذي يجعل العلاقة الترتيبية صحيحة.
حل المعادلة والمتباينة وأنواعها
في حياتنا النوعية، نحتاج إلى حل العديد من المعادلات والمتباينات. ولا بد من معرفة أن المعادلات والمتباينات لها أنواع عديدة، ولكل نوع طريقة خاصة للحل، نذكرها هنا:
حل المتباينات وأنواعها
ولعل دراسة الدوال وخصائصها وتطبيقاتها من المواضيع المهمة في الرياضيات، وهذا يتطلب الانتباه إلى إيجاد مجموعة حل للمتباينات بمختلف أنواعها: الخطية، وغير الخطية، والكسرية. على سبيل المثال، إذا أردنا إيجاد فترات الزيادة والنقصان في المعادلة التربيعية، فيجب علينا حل المعادلة، وإيجاد مجموعة الحلول الخاصة بها.
قد تختلف مستويات العمليات العقلية في حل المتباينة، بدءاً من إجراء بعض العمليات الحسابية البسيطة، إلى عمليات حسابية أكثر صعوبة، كما هو الحال في المتباينات الكسرية، والمتباينات غير الخطية، إذ تعتمد درجة صعوبتها على نوع المتباينة ودرجتها، وحلها غالبا ما يتطلب البحث في إشارة الحجم على خط الأعداد لذلك لا بد من التركيز على حل المتباينات وتمييزها عن المعادلة ومعرفة كيفية التعامل معها حسب نوعها، بالإضافة إلى التدريب على الأولويات ومعرفة كيفية تغير اتجاه الإشارة عند ضربها بالإشارة السالبة.
حل المعادلة وأنواعها
هناك أنواع عديدة من المعادلات، وتختلف طريقة حلها حسب نوعها. وسنذكر النوعين التاليين من المعادلات:
- المعادلات الخطية
المعادلة الخطية هي معادلة جبرية من الدرجة الأولى، وهناك أنواع من المعادلات الخطية، على سبيل المثال:
معادلة خطية لمتغير واحد مثل ؛ (4س + 5 = 0)،
معادلة خطية بمتغيرين مثل ؛ (4س + 5ص = 10)
معادلة خطية بثلاثة متغيرات على سبيل المثال؛ (س + ص + 5ض = 0)
معادلة خطية بأربعة متغيرات على سبيل المثال؛ (4س = 3ث + 5ص + 7ض)
يمكن حل المعادلة الخطية بمتغير واحد، وذلك بوضع المتغير وحده في طرف، والأعداد في الجانب الآخر، أي بجعل المتغير خاضعاً للقانون، مع مراعاة أولويات الجمع والطرح. حل المعادلة الخطية ذات المتغيرين يتم من خلال تطوير نظام ذو معادلتين حيث يتم استبدال إحداهما بالأخرى أو بطريقة الحذف والإضافة، والمعادلة الخطية ذات المتغيرات الثلاثة لحلها تحتاج إلى نظام من ثلاثة المعادلات وما إلى ذلك.
- معادلة من الدرجة الثانية
وهي معادلة جبرية ثلاثية الحدود من الدرجة الثانية، والصيغة القياسية للمعادلة التربيعية هي كما يلي (0 =فأس2 + bx + ج)حيث (a,b,c) أعداد حقيقية ثابتة، بشرط ألا يساوي a صفر، وإلا ستكون المعادلة خطية.
يتم حل المعادلة التربيعية بعدة طرق، منها التحليل إلى العوامل الأولية عن طريق نقل جميع الحدود إلى جانب واحد وجعل الصفر في الجانب الآخر، ثم تحليل التعبير إلى حاصل ضرب كميتين خطيتين، ومساواة كل كمية إلى الصفر وحلها لإيجاد قيمة كل متغير. هناك أيضًا طرق أخرى مثل إكمال المربع واستخدام القانون العام. هناك نوع خاص من المعادلات التربيعية يمكن حلها عن طريق الفرق بين مربعين، وذلك عندما تتكون المعادلة من المتغير المرفوع إلى القوة الثانية والرقم الآخر يشكل مربعاً كاملاً.
ومما سبق نعلم أن الفرق بين المعادلة والمتباينة رياضياً هو وجود علامة التساوي في المعادلة، بينما تحتوي المتباينة على أحد رموز المقارنة التي تفصل بين طرفي المعادلة، وهناك خطوات محددة لحل كل نوع من المتباينات أو المعادلات.