يعد البحث عن المتجهات في الفضاء ثلاثي الأبعاد من الأبحاث التي كثيرا ما يطلبها الطلاب ضمن مادتي الرياضيات والفيزياء، حيث أن الكثير من موضوعات الفيزياء لا يمكن معرفة وفهمها إلا بعد فهم المتجهات والعمليات التي يمكن إجراؤها يؤدي عليهم. من الضرب والطرح والجمع، لأن الكميات في الفيزياء تنقسم إلى كميات متجهة وكميات غير متجهة أو تسمى الكميات العددية، والكميات العددية يسهل التعامل معها ونحن على دراية بها بشكل طبيعي، لكن العقدة هنا تبرز في ضرورة تعلم الاتجاهات لفهم الكميات المتجهة.
تعريف المتجهات في الفضاء ثلاثي الأبعاد
يتم تعريف المتجه على أنه كمية لها حجم واتجاه وهندسة. ويمكننا أن نتصور متجهًا على شكل قطعة مستقيمة موجهة، طولها مقدار المتجه، وفي نهايتها سهم يشير إلى الاتجاه. حيث يكون اتجاه المتجه من ذيله إلى رأسه. ويكون المتجهان متماثلين إذا كان لهما نفس المقدار والاتجاه، مما يعني أننا إذا أخذنا متجهًا وحركناه إلى موضع جديد مع البقاء في نفس الاتجاه، فإن المتجه الذي سنحصل عليه في نهاية هذه العملية هو نفس المتجه كان لدينا في البداية. ومن أمثلة المتجهات نواقل القوة والسرعة؛ كل من القوة والسرعة في اتجاه محدد، لكن طول المتجه يشير إلى مقدار القوة أو مقدار السرعة.
البحث عن المتجهات في الفضاء ثلاثي الأبعاد
مقدمة البحث: الكميات المتجهة من الأمور التي يهتم بها علماء الفيزياء كثيراً، لأنه لا يمكن إجراء العمليات الحسابية على الكميات الفيزيائية إلا من خلال فهم المتجهات، وما مفهومها، وكيف يمكننا التعامل معها، وفي هذا البحث سنقدم لك شرح كامل عن المتجهات
شرح المتجهات في الرياضيات
أول شيء عليك أن تعلمه هو أن المتجه يرمز له بحرف إنجليزي ويوجد فوقه سهم هكذا ( →)، أما بالنسبة للكمية القياسية فنرمز لها فقط بحرف بدون سهم فوقه، وفي ما يلي الصورة يمكنك ملاحظة أن المتجه الذي يرمز له بالحرف (A) هو متجه موجود في بعدين اثنين، وهنا سأبدأ بالشرح لكم عن المتجه في بعدين لسهولة هذا الموضوع، هنا المتجه يمكن تحلل A إلى مكونين عن طريق عمل إسقاط رأسي على كل من المحورين x و y للحصول على أصلتي وإسقاط أفقي ونرمز لهما على التوالي بالرمزين (A)ي أX); بحيث يمكننا كتابة المتجه بطريقتين، الأولى بكتابة مركباته، والثانية بكتابة المقدار والزاوية، كما ذكرنا سابقًا.
ومن الشكل الهندسي السابق نستنتج أن المتجه A يمكن كتابته على النحو التالي: ( A = Aي+أX)، والطريقة الثانية هي بكتابة التعبير متبوعاً بالزاوية كما يلي: (A ∠θ). مع ملاحظة أننا أهملنا وضع السهم فوق الكميات المتجهة لصعوبة ذلك.
قد تلاحظ أن الصورة أعلاه تمثل متجهاً موضوعاً في الأبعاد الثلاثة، ويمكنك كتابتها بنفس الطريقة التي ذكرناها سابقاً من خلال إسقاط المتجه على المكونات الثلاثة (X، Y، Z)، بحيث يكون البعد الثالث هو البعد داخل العمق وهو (Z)، وبذلك يمكنك كتابة المتجه بالطريقة التالية: ( A = AX+أي+أض).
استنتاج البحث: ويمكننا تلخيص ما سبق بما يلي؛ لكتابة متجهات في ثلاثة أبعاد، يتطلب ذلك ثلاثة محاور رأسية متناوبة، وعادةً ما يتم عرض المحورين x وy أفقيًا والمحور z عموديًا، ويمكن تحديد موضع النقطة التي يصل إليها سهم المتجه باستخدام ثلاثة إحداثيات (x، y، z)، والأصل هو O المعطى بالإحداثيات (0، 0، 0) للنقطة.
العمليات على المتجهات في الفضاء ثلاثي الأبعاد
وكما ذكرنا هناك فإن أهمية دراسة المتجهات تظهر في العمليات التي يمكنك إجراؤها عليها لحل المسائل الفيزيائية، وسنشرحها لك فيما يلي بشكل وافٍ:
جمع المتجهات
يمكنك القيام بعملية إضافة المتجهات من خلال الطريقة الرسومية والطريقة الحسابية، وسأوضح لك كل منهما على النحو التالي:
- الطريقة الرسومية: إذا افترضنا أن لديك متجهين، الأول هو a، والثاني هو المتجه b، فيمكنك إجراء عملية الجمع بينهما (a + b)، من خلال رسم المتجه a بحجمه واتجاهه الصحيحين، ثم وضع المتجه ذيل المتجه b أعلى المتجه a ورسمه، ثم رسم خط يبدأ من ذيل a وينتهي عند قمة b، وهذا الخط الناتج هو مجموع المتجهين.
- المنهج التحليلي: بعد تحليل المتجهين المراد جمعهما في مكونات الجيب و s و السمت، نجمعهما بإضافة المركبات المماثلة على النحو التالي:
أ = أس +أذ +أضب = بس + بذ +بض
أ+ب= (أس+بس)+(أذ +بذ) +(أض +بض)
طرح المتجهات
طرح المتجهات هو نفس إضافة المتجهات، مع اختلاف بسيط. بدلًا من إضافة متجهين، نضيف المتجه الأول إلى سالب المتجه الثاني. وهنا عليك أن تتعلم ما هو المتجه السلبي؛ حيث أن سالب المتجه يكون بعكس اتجاهه مع بقاء قيمته كما هي.
ضرب المتجهات
هناك نوعان من تكاثر المتجهات؛ وهذان النوعان هما المنتج القياسي ونسميه المنتج النقطي، والمنتج المتجه ونسميه أيضًا المنتج الاتجاهي، فعندما نضرب متجهين منتجًا نقطيًا تكون النتيجة كمية قياسية، أي أن لها قيمة مقدارًا وليس له اتجاه، ولهذا يعرف هذا النوع من الضرب بالضرب العددي، ولكن عندما نقوم بالضرب الاتجاهي لمتجهين، ستكون النتيجة متجهًا متعامدًا على كل من المتجهين المضروبين؛ ولهذا السبب يُعرف بالضرب الاتجاهي.
إلى هنا نكون قد وصلنا إلى خاتمة المقال، وقد كتبنا فيه بحثاً عن المتجهات في الفضاء الثلاثي الأبعاد وشرحناه بالتفصيل، كما وضحنا من البداية مفهوم الكمية المتجهة وطريقة إجراء العمليات الأساسية عليها كالجمع والطرح والضرب بأنواعه.