مثلثات فيثاغورس الشهيرة إنها إحدى النظريات الرياضية التي طورها عالم الرياضيات اليوناني فيثاغورس ، والتي تجمع بين ثلاثة جوانب في مثلث قائم الزاوية ، وهي واحدة من أقدم النظريات المعروفة والمستخدمة على نطاق واسع في المثلثات.
مثلثات فيثاغورس الشهيرة
إنها علاقة هندسية تربط الأضلاع الثلاثة للمثلث القائم الزاوية. تقول هذه النظرية أن مربع الوتر على الجانب المقابل للزاوية القائمة يساوي مجموع مربعات الضلعين الآخرين ، والمعروفة باسم نظرية فيثاغورس بالنسبة للعالم اليوناني الذي طورها. من الجدير بالذكر أن هذه النظرية هي واحدة من أقدم النظريات المعروفة والمستخدمة حتى يومنا هذا ، وهي واحدة من أشهر إسهامات العالم ، فيثاغورس ، في الرياضيات.
مثلثات فيثاغورس الشهيرة
ينص قانون فيثاغورس الشهير على ذلك مجموع مربعات أطوال الضلعين الأيمن (الضلعان الأقصر لمثلث قائم الزاوية) يساوي مربع طول الوتر (الضلع الأطول للمثلث) ، يمكن تمثيل النظرية بالرموز: a² + b² = c² ، حيث a و b هما ضلعي مثلث قائم الزاوية ، بينما c تعبر عن وتر هذا المثلث أو أطول ضلعه.
أهمية نظرية فيثاغورس
أهمية نظرية فيثاغورس هي كما يلي:
- توضيح نوع وشكل المثلث ، عندما يكون مربع الوتر مساويًا لمجموع مربعات الضلعين الآخرين ، يكون المثلث صحيحًا ، وإذا كان مربع طول الوتر أطول من مربع الضلعين الآخرين ، يكون المثلث منفرجًا ، ولكن إذا كان مربع طول الوتر أقل من مجموع مربعي الضلعين الآخرين ، يكون المثلث حادًا.
- تساعد في حساب أطوال الأضلاع المجهولة ، حيث يمكن استخدامها في المستطيلات والمربعات أيضًا.
إثبات نظرية فيثاغورس
يمكن إثبات هذه النظرية من خلال المثال التالي:
نفترض (د ، هـ ، و ، ي) مربعًا ، ونقسم كل نقطة من الضلع إلى جزأين (أ ، ب). نربط هذه النقاط بخطوط مستقيمة لنحصل على مربع من الداخل بطول الضلع c وأربعة مثلثات داخلية قائمة الزاوية بالوتر c وطول الضلع a ، b ، ليكون طول ضلع المربع الخارجي هو (a + b) ، و يتم التعبير عن مساحة المربع الخارجي بواسطة (أ + ب) ² ، والتي تساوي مساحة المثلثات الداخلية الأربعة ، ويمكن حسابها من خلال العلاقة: 4 × (½ × طول القاعدة × الارتفاع ) = 2/4 xaxb = 2 ab بالإضافة إلى مساحة المربع الداخلي c² لإنتاج مساحة المربع الخارجي وهي: (a + b) ² = 2ab + c².
أمثلة على مثلثات فيثاغورس الشهيرة
المثال الأول:
ABC مثلث قائم الزاوية ، فأوجد طول الوتر C إذا كان طول الضلع AB = 3 سم ، وطول الضلع CA = 4 سم.
الحل:
- (الوتر) ² = (تربيع الضلع الأول) ² + (تربيع الضلع الثاني) ²
- ب ج² = أ ب² + ب ج²
- ب ج² = 3 ² + 4 ²
- ب ج² = 9 + 16 = 25 سم.
- وبعد الجذر: bc = 5 cm.
المثال الثاني:
أ ب ج مثلث أطوال أضلاعه 12 ، 13 ، 6 ، هل هو مثلث قائم الزاوية؟
الحل:
وفقًا لنظرية فيثاغورس ، ضلع الطول 13 هو الوتر ، وللتأكد من أن المثلث يمينًا ويمينًا ، يجب أن يكون مربع طول الوتر مساويًا لمجموع مربعي الضلعين الآخرين:
- 13² = 169
- 6 ² + 12 ² = 36 + 144 = 180
- إذن ، 13² ≠ 180 ليس مثلثًا قائمًا.
عكس نظرية مثلث فيثاغورس الشهيرة
ينص عكس نظرية فيثاغورس على ما يلي: إذا كان مربع أطول ضلع في المثلث يساوي مجموع مربعي أطوال الضلعين الآخرين ، يكون المثلث قائم الزاوية ، والزاوية القائمة هي الزاوية المقابلة للزاوية الضلع الأطول (الوتر) ، على سبيل المثال: مثلث طول ضلعه 13 ، 12 ، 5 ، هل هو مثلث قائم الزاوية؟
الحل:
- أطول ضلع في هذا المثلث هو 13 سم.
- 13² = 169
- مجموع مربعات الجانبين الآخرين:
- 12² + 5² = 25 + 144 = 169
- إذن ، المثلث قائم الزاوية وفقًا لعكس نظرية فيثاغورس.
حساب زوايا المثلثات الشهيرة
مجموع قياسات زوايا أي مثلث هو 180 درجة ، ومنه يمكن حساب قياس زوايا أي مثلث على النحو التالي:
- مثلث قائم الزاوية: قياس الزاوية القائمة 90 درجة ، ومجموع قياس الزاويتين المتبقيتين 90 درجة.
- مثلث متساوي الساقين: حيث تكون قياسات زوايا القاعدة متساوية ، ومجموع زوايا هذا المثلث هو: 2 xx + y = 180 ، حيث x هو قياس زاويتين القاعدة ، و y قياس زاوية الرأس.
- مثلث متساوي الاضلاع: قياس أي زاوية في هذا المثلث يساوي 60 درجة.
في ختام هذا المقال ، توصلنا إلى معرفة مثلثات فيثاغورس الشهيرة تعرفنا أيضًا على أمثلة على هذه المثلثات ، ونص نظرية فيثاغورس.