حل معادلة من الدرجة الثانية

حل معادلة من الدرجة الثانية ، حيث تكون معادلات الدرجة الثانية نوعًا من المعادلات الرياضية ، وفي الحقيقة هناك أكثر من طريقة لحل هذا النوع من المعادلات ، وفي هذه المقالة سنشرح بالتفصيل ماهية معادلة والدرجة الثانية هي، وسنشرح أيضًا طرق حل هذه المعادلات بخطوات تفصيلية مع أمثلة محلولة لكل نوع.

حل معادلة تربيعية

المعادلة التربيعية هي معادلة رياضية جبرية ذات متغير رياضي واحد من الدرجة الثانية ، وهذا النوع من المعادلة يسمى المعادلات التربيعية ، والصيغة الرياضية العامة للمعادلة التربيعية هي كالتالي:

أ س² + ب س + ج = 0

بينما:

• الكود أ: هو المعامل الرئيسي لـ x²، بشرط أن يكون ≠ 0.
• الكود ب: هو المعامل الرئيسي للحد x.
• الكود C: هو الحد الثابت في المعادلة وهو عدد حقيقي.
• الرمز S²: وهو الحد المربع في المعادلة، ويشترط وجوده في المعادلة التربيعية.
• الكود x: وهو الحد الخطي في المعادلة، ولا يشترط وجوده في المعادلة التربيعية، حيث يمكن أن يكون b = 0.

كما توجد عدة طرق مختلفة لحل معادلات الدرجة الثانية أو المعادلات التربيعية، وهذه الطرق الرياضية هي:

• حل معادلة تربيعية على الصورة التربيعية.
• حل معادلة من الدرجة الثانية بإكمال المربع
• حل معادلة من الدرجة الثانية باستخدام الطريقة التمييزية أو ما يسمى بالقانون العام.
• حل معادلة تربيعية عن طريق الرسم البياني.

حل معادلة تربيعية بالقانون العام

يستخدم القانون العام لحل أي معادلة من الدرجة الثانية ، ولكن من الضروري لاستخدام هذا القانون أن يكون تمييز المعادلة التربيعية موجبًا أو يساوي صفرًا ، والمميز هو ما هو تحت الجذر في القانون العام ويرمز له بالرمز ∆ ويسمى دلتا، والقانون العام له شكل الصيغة الرياضية التالية:

س = ( – ب ± ( ب² – 4 أ )√ ) / 2 أ
مميز = ب² – 4 أ
∆ = ب² – 4 أ

أينما كان:

• الكود أ: هو المعامل الرئيسي لـ x²، بشرط أن يكون ≠ 0.
• الكود ب: هو المعامل الرئيسي للحد x.
• الكود C: هو الحد الثابت في المعادلة وهو عدد حقيقي.

الرمز ± يعني أن هناك حلين وجذرين للمعادلة التربيعية، وهما كما يلي:

Q1 = ( – ب + ( ب² – 4 أ )√ ) / 2 أ
Q2 = ( – ب – ( ب² – 4 أ )√ ) / 2 أ

أينما كان:

• كود Q1: هو الحل الأول للمعادلة التربيعية.
• كود Q2: هو الحل الثاني للمعادلة التربيعية.

ولكن ما يحدد عدد الحلول للمعادلة التربيعية أو حتى غياب الحلول هو قيمة وقيمة المميز ، من خلال ما يلي:

مميز = ب² – 4 أ
∆ = ب² – 4 أ

بينما:

• Δ> صفر: إذا كان المميز موجبًا، فإن للمعادلة حلان، x1 وx2.
• Δ = صفر: إذا كان مقدار المميز صفرًا، فإن المعادلة لها حل مشترك واحد، x.
• Δ <صفر: إذا كانت قيمة المميز سالبة، فإن المعادلة ليس لها حل حقيقي، لأن الحل هو أعداد مركبة.

على سبيل المثال، لحل المعادلة x² + 2x – 15 = 0 بالقانون العام، تكون طريقة الحل كما يلي:

س² + 2 س – 15 = 0

• أولاً نحدد معاملات الحدود حيث أ = 1و ب = 2و ج = -15.
• نجد قيمة المميز Δ بالقانون:
  ∆ = ب² – 4 أ
  ∆ = 2² – (4 × 1 × -15)
  ∆ = 64
  بما أن الحل موجب، فهذا يعني أن المعادلة التربيعية لها حلان، أو جذرين، وهما x1 وx2.
• نجد قيمة الحل الأول x1 للمعادلة التربيعية من خلال القانون.
  S1 = ( -2 + ( 2² – (4 × 1 × -15)) )√ ) / 2 × 1
  س1 = ( -2 + 64√ ) / 2 × 1
  س 1 = 3
• نجد قيمة الحل الثاني x2 للمعادلة التربيعية من خلال القانون.
• Q2 = ( – ب – ( ب² – 4 أ )√ ) / 2 أ
  س2 = ( -2 – 64√ ) / 2 × 1
  س 2 = -5

وهذا يعني أن المعادلة x² + 2x – 15 = 0 لها حلان، أو جذرين، وهما س 1 = 3 و س 2 = -5.

حل معادلة من الدرجة الثانية باستخدام الطريقة التمييزية

في الواقع ، الطريقة المميزة هي نفسها طريقة القانون العام لحل المعادلات التربيعية ، على سبيل المثال لحل المعادلة الرياضية التربيعية التالية 2x² – 11x = 21 بالطريقة التمييزية ، طريقة الحل هي كما يلي:

• بتحويل هذه المعادلة 2x² – 11x = 21 إلى الصيغة العامة للمعادلات التربيعية ، حيث يتم نقل 21 إلى الجانب الآخر من المعادلة لتصبح على هذا النحو ، 2x² – 11x – 21 = 0.
• نحدد معاملات الحدود كما أ = 2و ب = -11و ج = -21.
• نجد قيمة المميز Δ بالقانون:
  ∆ = ب² – 4 أ
  ∆ = 11-² – (4 × 2 × -21)
  ∆ = 47
  بما أن الحل موجب، فهذا يعني أن المعادلة التربيعية لها حلان، أو جذرين، وهما x1 وx2.
• نجد قيمة الحل الأول x1 للمعادلة التربيعية من خلال القانون.
  Q1 = ( 11 + ( 11² – (4 × 2 × -21)) )√ ) / 2 × 2
  Q1 = (11 + 47 √) / 2 × 12
  س 1 = 7
• نجد قيمة الحل الثاني x2 للمعادلة التربيعية من خلال القانون.
• Q2 = (- ب – (ب² – 4 أك) √) / 2 أ
  Q2 = (11-47√) / 2 × 2
  س 2 = -1.5

هذا يعني أن المعادلة 2x² – 11x – 21 = 0 لها حلين أو جذران ، وهما س 1 = 7 و س 2 = -1.5.

حل معادلة تربيعية مجهول واحد

حيث يتم استخدام طريقة إكمال المربع لحل المعادلة الرياضية من الدرجة الثانية بمجهول واحد ، وتعتمد طريقة الحل هذه على كتابة المعادلة التربيعية بالصيغة الرياضية التالية:

أ س² + ب س = ج

أينما كان:

• الكود أ: هو المعامل الرئيسي لـ x² بشرط أن a 0.
• الكود ب: هو المعامل الرئيسي للحد x.
• الكود C: هو الحد الثابت في المعادلة وهو رقم حقيقي.

المبدأ هو إكمال المربع في الرقم ax² + bx ، وبالتالي الحصول على مربع كامل في الجانب الأيسر من المعادلة ورقم آخر على الجانب الأيمن ، ويتم ذلك من خلال الخطوات التالية:

• اقسم طرفي المعادلة التربيعية على معامل المصطلح التربيعي ، وهو المعامل أ.
• انقل المصطلح الثابت من المعادلة إلى الجانب الآخر من المعادلة لجعله موضوعًا للقانون.
• أضف إلى كلا طرفي المعادلة الأخيرة مربع نصف معامل الحد الخطي ، وهو المعامل ب.
• حل المعادلة الناتجة بعد إضافة مربع نصف المعامل ب.

على سبيل المثال ، لحل المعادلة الرياضية التربيعية 5x² – 4x – 2 = 0 ، بإكمال المربع ، يكون الحل كما يلي:

• قسمة طرفي معادلة الدرجة الثانية على معامل المصطلح التربيعي وهو المعامل a = 5 لإنتاج ما يلي:
  ײ – 0.8 × – 0.4 = 0
• انقل المصطلح الثابت من المعادلة إلى الجانب الآخر من المعادلة لجعله موضوع القانون ، فتصبح المعادلة على النحو التالي:
  ײ – 0.8 × = 0.4
• أضف إلى طرفي المعادلة الأخيرة مربع نصف معامل المصطلح الخطي ، وهو المعامل b = -0.8 ، وهو كالتالي:
  ب = -0.8
  (2 / ب) ² = (0.8 / 2) ² = (0.4) ² = 0.16
  إذن تصبح المعادلة x² – 0.8x + 0.16 = 0.4 + 0.16
• بعد تقصير وتبسيط المعادلة الناتجة تصبح:
  (س – 0.4) ² = 0.56
• قم بحل المعادلة الناتجة ، بحيث تبدو كالتالي:
  (س – 0.4) ² = 0.56
  نظرًا لوجود جذر ، فهذا يعني أن هناك حلين ، وهما Q1 و Q2:
  Q1 – 0.4 = 0.56√
  Q1 – 0.4 = 0.74833
  x1 = 0.74833 + 0.4
  س 1 = 1.14

  Q2 – 0.4 = 0.56√
  Q2 – 0.4 = -0.74833
  x2 = -0.74833 + 0.4
  Q2 = -0.3488

هذا يعني أن المعادلة 5x² – 4x – 2 = 0 لها حلين أو جذرين ، وهما س 1 = 1.14 و Q2 = -0.3488.

حل معادلة تربيعية ذات مجهولين

يمكن حل المعادلة الرياضية من الدرجة الثانية مع مجهولين بأي طريقة مستخدمة لحل المعادلات التربيعية باستثناء طريقة الجذر التربيعي ، والمعادلة التربيعية ذات مجهولين تعني أن المصطلح الخطي ، وهو x ومعامل b ، هو لا يساوي الصفر ، ويمكن حل معادلة الدرجة الثانية بمجهولين عن طريق التحليل ، وتعني هذه الطريقة تحويل المعادلة ثلاثية الحدود ، وهي الحد التربيعي x² ، والمصطلح الخطي x ، والمصطلح الثابت c ، إلى معادلة مكتوبة على شكل حدين مضروبين في بعضهما البعض، بعد استخدام طريقة التجربة والخطأ. وفي الحقيقة فإن هذه الطريقة تعتمد على التخمين الرياضي، وهناك حالتان لهذا الأسلوبين:

معامل الحد التربيعي يساوي واحدًا

أ = 1 ، وهذا يعني أنه عندما يكون معامل الحد المربع يساوي واحدًا ، فإن طريقة التحليل هي البحث عن رقمين مجموعهما يساوي معامل المصطلح الخطي ب ، وحاصل ضربهما متساوي للحد الثابت ج ، وبعد إيجاد العددين ن و م هي مكتوبة بالشكل التالي:

(س + ن) (س + م)
من هذا نستنتج أن:
Q1 = – م
Q2 = -n

على سبيل المثال ، لتحليل المعادلة التربيعية التالية x² + 3x – 10 = 0 ، يجب أن نبحث عن رقمين مجموعهما يساوي معامل المصطلح الخطي b وهو 3 ، وحاصل ضربهما يساوي الثابت المصطلح c وهو -10 والرقمان هما:

ن = 5
م = -2

حيث أن مجموع العددين m وn هو 3 وحاصل ضربهما هو -10، مما يعني:

• م + ن = ب
  5 + -2 = 3
• م × ن = ج
  5 × -2 = -10

ثم يتم كتابتها بالشكل التالي:

(x + 5) (x-2)
من هذا نستنتج أن:
س 1 = -5
س 2 = 2

ومعامل الحد المربع لا يساوي واحدًا

أ ≠ 1، ويعني عندما لا يساوي معامل الحد التربيعي واحدًا، فإن طريقة التحليل تكون كما يلي:

• أولاً: كتابة المعادلة بالصورة القياسية العامة للمعادلة التربيعية:
  أ س² + ب س + ج = 0
• ثانيًا: أوجد حاصل ضرب axc، ثم ابحث عن رقمين مجموعهما يساوي b، وحاصل ضربهما هو axc.
• ثالث: اكتب العددين m و n، ثم ضع المعامل b في المعادلة بصيغة الجمع، ليصبح كما يلي:
  أ س² + (ن + م) س + ج = 0.
• رابعا: افصل بين الرقمين n وm عن بعضهما البعض بضربهما في الحد الخطي x، لتصبح المعادلة كما يلي:
  الفأس² + nx + mx + c = 0.
• خامسا: تحليل أول حدين ، وهما الأس² + nx ، عن طريق استخراج عامل مشترك منهما ، بحيث يكون ما تبقى داخل الأقواس متساويًا.
• سادسا: تحليل الحدين الأخيرين، mx + c، عن طريق إخراج العامل المشترك…