تُستخدم الدوال الرئيسية الأم والتحويلات الهندسية للوصول إلى دوال رئيسية أخرى في الرياضيات، وتساعدنا هذه الدوال في الحصول على الكثير من المعلومات في الفيزياء والكيمياء أيضًا عند تمثيلها بيانيًا على المستوى الديكارتي المعروف، كما أنها تمثل جزءًا من كتاب الصف الثالث الثانوي في المملكة العربية السعودية أيضاً، ومن الأمثلة على هذا النوع من الدوال أكبر دالة عددية بالإضافة إلى دالة الجذر التربيعي.
الوظائف الرئيسية الأم والتحولات الهندسية
يحتوي كتاب الرايات للصف الثالث الثانوي في المملكة العربية السعودية على فصل كامل يتحدث عن الدول الأم الرئيسية والتحويلات الهندسية، وتعرف الإشارة الرئيسية أنها أبسط وظيفة في عائلتها، فهي الدالة والتي تستخدم لإيجاد حالات أخرى في الأسرة من خلال التحويلات الهندسية، بما في ذلك الدلالة الثابتة، ومنها: والدالة التربيعية والدالة التكعيبية بالإضافة إلى الدالة المحايدة ودالة الجذر التربيعي، وفيما يلي بعض أبرز الدوال الأم .
وظيفة ثابتة
يتم كتابة الدالة الرئيسية الأم للدوال الثابتة على الصورة s(x)=c أو الصورة f(x)=C، والرمز c والرمز C يمثلان عددا حقيقيا، وتمثل هذه الدالة على الخط الديكارتي المستوى بخط أفقي مستقيم يمتد إلى ما لا نهاية، ومن الأمثلة عليه: s (x) = 4 أو s (x) = 20 أو s (x) = 0.5 أيضًا.
الوظيفة المحايدة
يتم تعريف الدالة المحايدة على أنها دالة يرتبط فيها كل عنصر بنفسه، ويكون مجاله والمجال المقابل له من نفس المجموعة. ما لا نهاية إلى ما لا نهاية أيضا.
وظيفة من الدرجة الثانية
تتميز الدالة التربيعية بشكلها الذي يشبه حرف U عندما يتم تمثيله على خط الأعداد في المستوى الديكارتي.2 أو النموذج f(x)=x2 كما يمثل كل من الرمز x والرمز x رقمًا متغيرًا؛ حيث تصبح وظيفة ثابتة إذا لم تكن كذلك.
وظيفة مكعبة
تتم كتابة الوظيفة الرئيسية لجميع الوظائف المكعبة في النموذج s (x) = s2 أو النموذج f(x)=x2وتتميز هذه الدالة بوجود خطين متماثلين حول نقطة الأصل عند تمثيلها على المستوى الديكارتي، على الرغم من أن أحدهما موجه إلى خط الأعداد السالبة والآخر إلى خط الأعداد الموجبة على المحور الصادي.
دالة الجذر التربيعي
تعتبر دالة الجذر التربيعي إحدى الدوال الرئيسية الرئيسية، ويمكن كتابة هذه الدالة على الصورة f(x)=√x، ويجب أن يكون الرقم X متغيرًا قيمته أكبر من الصفر؛ تصبح هذه الدالة دالة ثابتة إذا كان الرقم X غير متغير، ومن المستحيل أن ينتج رقم سالب عند ضرب الرقم في نفسه أيضا، وهي دالة تمت دراستها في الفصل الخاص بالوظائف الرئيسية والهندسة التحولات كذلك.
وظيفة معكوسة
تكتب الدالة التبادلية على الصورة s(x)=1/x أو على الصورة f(x)=1/x، بشرط ألا تكون قيمة المتغير X أو المتغير x تساوي صفراً؛ من المستحيل قسمة أي عدد على الرقم صفر في الرياضيات، وتتميز هذه الدالة بتماثلها حول محور الأصل عند تمثيلها على المستوى الديكارتي أيضاً.
دالة القيمة المطلقة
تتم كتابة دالة القيمة المطلقة بالصيغة s(x)=|x| وتتميز بانحناءها الذي يشبه شكل الحرف V عند تمثيله على المستوى الديكارتي، ويتم تعريف هذه الدالة على النحو التالي:
- ق(ق)=|-س| إذا كانت x أقل من الصفر.
- ق(ق)=|ق| إذا كانت x أكبر من أو تساوي الصفر.
أكبر دالة عددية
يتم تعريف دالة أكبر عدد صحيح على أنها الدالة التي تمثل أكبر عدد صحيح تكون قيمته أقل من أو تساوي المتغير X أو x. إنها إحدى الوظائف الرئيسية الأم ويتم كتابتها بالصيغة s (x) =[س]وتتميز هذه الدالة بخطوطها المتقطعة عن بعضها البعض عند تمثيلها على المستوى الديكارتي؛ حيث يشبه شكل الدرجات.
العمليات على أمثلة الوظائف حلها
يحتوي كتاب الرياضيات للصف الثالث الثانوي بالمملكة العربية السعودية على العديد من الأسئلة المتعلقة بالوظائف الرئيسية وذلك لمعرفة مستويات الطلاب وتقييم مدى فهمهم لجميع المفاهيم المطلوبة، وفيما يلي بعض الحلول لهذه الأسئلة.
- تحقق من فهمك السؤال رقم 1: ارسم الدالة s(x)=|x| مع تعريف المجال والمدى، بالإضافة إلى تعريف القسم x والقسم y، وتحديد التماثل والاتصال وسلوك جانبي الرسم البياني وفترات الزيادة والنقصان.
- تحقق من فهمك #2: استخدم الرسم البياني للوظيفة الرئيسية الأصلية s(x)=x3 لتمثيل الوظائف التالية بيانيا:
- الدالة ح(س)=س3-5أ
- الدالة ح(س)=8+س3
- الدالة ح(س)=(س+2)3+4
- تحقق من فهمك للسؤال رقم 3:
- تحقق من فهمك للسؤال رقم 4:
- تحقق من فهمك للسؤال رقم 5:
- تحقق من فهمك للسؤال رقم 6:
يرغب الكثير من الطلاب في المملكة العربية السعودية في معرفة دوال الوالدين الرئيسية والتحولات الهندسية، بالإضافة إلى معرفة حلول أسئلة هذه الدوال في مقرر الفصل الخامس من منهج الرياضيات للسنة الثالثة ثانوي أيضًا، كما سبق؛ حيث تطرق هذا المنهج إلى ثماني دوال رئيسية، منها: دالة القيمة المطلقة، ودالة المقلوب، ودالة الجذر التربيعي.