يعد قانون مساحة وحجم الأسطوانة من القوانين الأساسية في الرياضيات، ويعتبر القاعدة التي يجب فهمها والتعرف عليها بكافة جوانبها في مجالات الهندسة المختلفة. وبعيدًا عن كونها قوانين رياضية، فهي على أرض الواقع مرتبطة بالعديد من الصناعات، مثل صناعة العلب البلاستيكية، وعلب الأدوية، ومستحضرات التجميل.
تعريف الاسطوانة
قبل الحديث عن قانون مساحة وحجم الأسطوانة، لا بد من البدء بتعريف الأسطوانة، والتي تسمى باللغة الإنجليزية “الأسطوانة”، وهي من أشهر المواد الصلبة الهندسية، ويتم تعريفها في الرياضيات كمادة صلبة ثلاثية الأبعاد، يتكون سطحها من مجموعة نقاط تبعد مسافة معينة عن قطعة مستقيمة تسمى محور الأسطوانة، وهي في شكل آخر عبارة عن مستطيل يدور حول أحد أضلاعه دورة كاملة، حيث يسمى محور الدوران بمحور الأسطوانة، وتتميز الأسطوانة بوجود دائرتين تحدان المجسم من الجانبين، وتسمى كل منهما بالقاعدة، والقطعة المستقيمة المتعامدة مع القاعدتين تسمى ارتفاع الاسطوانة.
كيفية حساب مساحة الاسطوانة الجانبية والكلية
ينقسم قانون مساحة الأسطوانة إلى قسمين جانبي وكلي، ويتم حسابه وفق القوانين الحسابية التالية:
- صيغة مساحة الاسطوانة الجانبية: ويطلق عليها باللغة الإنجليزية “مساحة السطح المنحنية” وهي محيط القاعدة × الارتفاع، وتكتب بالرموز كما يلي: 2×l×n×p.
- صيغة مساحة الاسطوانة الكلية: وهو مجموع مساحة الدائرتين ومساحة المستطيل، أي مجموع المساحة الجانبية، ومساحة القاعدتين، ويتم حسابه كما يلي: 2×l ×ص×(ص+ص).
أمثلة لحساب المساحة الكلية والجانبية للأسطوانة
ولتطبيق القوانين المذكورة لا بد من عرض بعض الأمثلة الحسابية، منها ما يلي:
- المثال الأول: احسب المساحة الكلية لأسطوانة نصف قطرها 5 سم وارتفاعها 7 سم:
بتطبيق القانون الرياضي: 2xlxrx (r + r).
نجد:
(2ل×5×(5+7).
مشتمل:
بتعويض الثابت pi في 3.14 نحصل على: (2x 3.14 x 5 x (5 + 7).
وبالتالي فإن المساحة الإجمالية للأسطوانة هي 376.8 سم2.
المثال الثاني: احسب نصف قطر الأسطوانة التي تبلغ مساحتها الإجمالية 2136.56 م2وارتفاع 3 م.
وباستبدال البيانات في القانون المذكور سابقاً نجد أن:
2136.56= 2×ص×ص×(ص+3)
عوّض بقيمة pi عند 3.14.
نجد ما يلي:
2136.56 = 2×3.14×ص×(ص+3)
340.22 = 3 ف + ف2
0 = 340.22-3 ف + ف2
لذلك:
ن = 17 م.
المثال الثالث: احسب المساحة الجانبية لأسطوانة قطر قاعدتها 56 م وارتفاعها 20 م.
مع العلم أن نصف القطر يساوي قسمة القطر على 2، وبتعويض البيانات في القانون المذكور سابقاً نجد ما يلي:
المساحة الجانبية = 2×طول×28×20
وبالتالي فإن المساحة الجانبية هي 3516.8 م2.
استخدامات الاسطوانة
يتضمن البحث في قانون مساحة وحجم الأسطوانة التوقف عند استخداماتها المختلفة والتي يمكن تلخيصها في الوظائف التالية:و
- مهندس ميكانيكى: تتكون معظم المحركات من أسطوانات تضخ الوقود أو الماء.
- ضغط الغازات: ومنها ما يتعلق بضغط الهواء، ويسمى بالأسطوانات الهوائية.
- صناعة المعدات والآلات: مثل المركبات ومعدات البناء وتصنيع الآلات.
حساب حجم الاسطوانة
أما الجزء الثاني فيتكون من قانون مساحة وحجم الأسطوانة، قانون حساب الحجم، وهو باللغة الإنجليزية “حجم الأسطوانة”، ويعبر عن سعة الأسطوانة، وكمية المادة التي بداخلها ، ويمكن حساب هذا الحجم بضرب مساحة قاعدته في ارتفاعه، ويكتب بالصيغة الرياضية كما يأتي: lx r² x p.
أمثلة لحساب حجم الاسطوانة
بعد عرض القانون الحسابي وشرح مفهوم حجم الأسطوانة، فيما يلي أمثلة تطبيقية لحساب حجم الأسطوانة:
- المثال الأول: احسب حجم أسطوانة نصف قطرها 8 سم وارتفاعها 15 سم.
وبتطبيق القانون الحسابي نجد ما يلي:
حجم الاسطوانة = 8xl 2×15
وبالتالي فإن حجم الاسطوانة هو: 3016 م3.
- المثال الثاني: احسب نصف قطر أسطوانة حجمها 440 سم3وارتفاعه 35 سم، علماً أن باي يساوي 22/7.
وبالتعويض عن البيانات في القانون الحسابي نحصل على ما يلي:
440 = لx ص² × 35
وبالتعويض عن قيمة pi الثابتة نحصل على:
ر²= (440 × 7)/(22 × 35) = 3080/770 = 4
وبالتالي فإن نصف القطر هو 2 سم.
يتطلب قانون مساحة وحجم الأسطوانة فهم المفهوم الهندسي والرياضي للمجسم الأسطواني، إذ يمكن استخلاص القانون الحسابي من المجسم الثلاثي الأبعاد، ويعتبر هذا القانون أحد أسس الرياضيات في المرحلة المتوسطة والثانوية. مراحل التعليم الثانوي .